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直流电机:​永磁直流电机各种电感介绍


​  永磁直流电机在控制中,经常要用到各种坐标变换,同时也会碰到到种电感,如:相电感、线电感、直轴电感、交轴电感、相间互感等,特别是电感和坐标变换结合后,就有不少人容易混淆迷惑。下面我们用图文及公式方式来理解直流电机电感其中的关系。

 

  电感:1824年,奥斯特发现了电流效应,在通电导体周围的磁针会发生偏转,也就是电生磁,后来,法拉第和亨利发现了磁也能生电,在移动的磁场能会在导体中感应出电流,这就是现在所说的电磁感应,数学工程式为:


  

 

  e感应电压

  dф/dt磁通的变化率(单位Wb/s 

 

  法拉第发表电磁感应论文不久,楞次发现了决定感应电流方向的规律,也就是楞次定律:感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化,所以完整数学公式为:


  

 


  直流电机中控制中的自感与互感

 

  在安倍定律中:磁场产生的根本原因是电流(可以是导体中的电流,也可以是永磁体中的电流)。如下图所示,一个线圈通电后,就会产生磁场

  

直流电机磁场线圈 

  线圈本身就处于自身产生的磁场中,也就意味着线圈中也会产生磁通磁通,这个量对于我们来说不直观,也不好测量,既然磁通是由电流产生的那我们可以借助电流来表示,所以电感的定义是:


  


  单位是Henry(亨利),一位美国物理学家,他其实和法拉第几乎同时独立的发现了电磁感应现象,只不过法拉第更早的发表了成果,就赢得了冠名权。

 

  我们通常说的电感,严格来说应该叫自感,即线圈自己对自己产生磁通的能力。

 

电感线圈 


  既然有自感,就会有互感,即两个线圈之间互相产生磁通的能力。

电感线圈 

 

  在直流电机中,电感非常重要,它表达了在某个特定机构中电流产生的磁场能力,电感确定了,我们就能很容易去研究磁场的性质。



  什么是磁动势?


  电感的定义是由磁通来定义了,要计算线圈的电感,先就要计算线圈通电后产生的磁场,由此来计算磁链,如,直流电机内磁路为线性,铁芯中的磁滞和涡流损耗可以忽略、气隙磁场的搞次谐波也可忽略,直流电机的定、转子表面光滑,齿、槽影响可以用卡式系数修正,直轴和交轴气隙可以不等,但是气隙的比磁导可以用平均值加二次谐波来表示

 

直流电机模型 

 

  上图为直流电机定子槽内两极整距线圈的情况, ⊙为流出,Ⓧ为流入。根据安培环路定理,其磁动势分布图为:


电路图 


  磁动势的幅值为


  


谐波 


  对方波进行傅里叶级数分析,可知其可由135。。。等奇次谐波组成,其中1次谐波也称之为基波,其幅值为:


  

 

  上面分析的是一对极情况,现在假设是p对极,每相绕组总匝数为Nph,则A相基波幅值为:

 

  


  上面分析时绕组都认为是整距,且每极每相只有一个槽,实际电机很少这种情况,大多每极下面是多槽的,而且还是短距:


直流电机电感 

 

  我们一般用一个绕组因数kω1来对基波磁动势进行修正,其幅值为:


  



  直流电机的相电感与互感计算


  根据基波磁动势的幅值,则其沿定子分布为:

 

  

 

  有了磁势,如果能知道磁导(磁阻的倒数),那就能计算气隙磁密了。对于表贴式直流电机而言,气隙基本不变,因此磁导和直流电机转子的位置没有关系;但是对于直流电机而言,气隙沿转子圆周方向一直变换(变化周期是极对数的两倍),因此磁导还和转子位置相关。


直流电机转子 

 

  由于dq轴是定义在直流转子上的,因此我们可以通过d轴与A相绕组的夹角θ来表示转子所在的位置。

 

  计算相电感


  气隙比磁导为:

 

  λ(a)=λδ0δ2cos2(a+θ)

 

  式中因为气隙长度变换周期是极对数的2倍,因此有个2次分量,而且当直流电机类型为内嵌式时, λδ2为负值,即d轴时磁阻最大,磁导最小。


  气隙磁动势和比磁导的相位关系为:


气隙磁动势 


  则气隙磁密为磁动势乘以比磁导:

 

  Bδ(a)=Fa1cosa·(λδ0δ2cos2(a+θ))

 

  展开成谐波叠加的形式:

 

  

 

  所以基波气隙磁密为:


  

 

  则A相绕组对应的磁链为:

 

  

 

  其中 LσA相漏感,τ为极距,叠片长度,上式整理可得:

  

  


  进一步整理可得:


   

 

  所以A相自感为:

 

  


  即:


  


  换一种表达方式:


  

 

  可见,A相绕组的自感不是一个固定值,而是随转子的变换而变化。同理可得其他两相自感为:


Lbb=Ls0+Ls2cos2(θ-2π/3)


Lcc=Ls0+Ls2cos2(θ+2π/3)

 

 

  计算相间互感


  由于B相绕组与A相绕组空间相差120°,其与自感方式基本相同,只需将积分区间由 [-π/2 π/2]修改为 [-π/2-2π/3 π/2-2π/3] ,即可以计算A相绕组电流产生的磁场在B相绕组中感应出的磁链,具体为:


  


  其中Mσ为互漏感,可以获得AB相互感为:

 

  



同理可获得其他两相的互感为:


  

 

  直流电机的自感和互感如下图所示:


直流电机的自感和互感 

 

 

  如何计算dq轴电感?


  一般的直流电机都会用dq轴电感表示,那么问题来了:dq轴电感如何计算或测量?和相电感及互感有什么关系?dq电感和坐标变换有什么关系?

 

  如何确定坐标转换矩阵?


  算电感是为了算磁链,进而去计算磁场的某型性质,通过一系列公式,终于把三相绕组的自感和互感计算出来了。


  

 

  那磁链就可以计算:

 

  

  

  电感矩阵非常复杂:


  

 

  而且这个电感矩阵还随之直流电机转子的变化而变化着,可以找到一个相似矩阵,这个相似矩阵呢形式比较简单,只有对角线上有数,而且这个相似矩阵能表征原矩阵的关键特征。矩阵对角化本质就是寻找矩阵空间的正交基以及在“基”上的投影系数。那电感矩阵是不是可以进行对角化呢?

 

  可以按照矩阵对角化的步骤:

 

  Del|Ls-λI|=0

 

  可以得到三个特征值,分别是:


  

 

 

  其中特征值λ1对应的特征向量是:


  


  特征值λ2对应的特征向量是:


  

 

  特征值 λ3对应的特征向量是:


  


  则3个特征向量可以组成如下特征矩阵:

 

  

 

  这个特征矩阵就是克拉克变换和帕克变换的乘积,该特征矩阵的逆矩阵为:

 

  

 

  则电感矩阵的特征值可以用特征矩阵及其逆矩阵来计算,即

 

  

 

一般称λ1Ld λ2Lqλ3L0,即:


  


  dq轴的电感就是三相绕组电感矩阵的特征值dq电感是一个常量了,cos2θ等变化因子消失了,也就是说通过对角化(坐标变换),原先较为复杂的电感矩阵对角化和常数化了,是定子的磁链方程解耦了!同时:dq轴电感与变换矩阵无关,是电感矩阵的固有属性。



  恒功率变换


  在坐标变换的时候,有的变换矩阵前面有个系数2/3 ,有的是  ,有的又没有,这到底有什么关系呢?

 

  电压矢量、电流矢量以及磁链矢量的关系为:


  


  电感对角画的时候求取了变换矩阵C ,现在我们需要把电压矢量、电流矢量以及磁链矢量也进行坐标变换:


  Us=Cu’s


  is=Ci’s


  Ψs=CΨ’s

 

  则变换后的功率为:


  P=isTus=(Ci’s)T(Cu’s)=(i’s)T(CTC)u’s

 

  把CT 代入上式,就可以得到:

 

  

 

  不考虑零轴分量,发现变换后的功率是变换前的3/2倍!也就是说,变换前后功率不守恒了,那通过功率计算的转矩就会不准确了,需要进行修正。

 

  把特征矩阵变为下面这个就可以做到功率守恒呢


  

 


  这个矩阵也是最常用的变换矩阵。

 

 

   dq轴电感测量方法


  通过建立直流电机模型,就要知道dq轴电感,两种方式,一种是计算,一种是测量。计算比较容易,建立直流电机的有限元模型,现在的电磁计算软件都有电感矩阵计算功能,计算出来求特征值就行了,有的软件都能直接给出dq轴的电感。


  一般来说有2种方式来测电感,一种是通过三相绕组,一种是通过两相绕组。


  用三相测dq轴电感


 

 

  将BC两相绕组并联在一起,形成一个新的端点,用LCR表或其他装置测量该端点和A相绕组端点之间的电感。

 

  此时因为:


  

 

  B相绕组和C相绕组并联,具有相同的磁链,因此只计算B相绕组的磁链:


  

 

  则总的磁链为:


  Ψ=Ψab

 

  则等效电感为

 

  

 

  当θ=0时:

 

  

 

  当θ=±π/2时:

 

  

  可见,当直流电机转子合适的位置测电感时,可以分别获得d轴电感和q轴电感。但是这种方法有一个难点就是如何知道转子此时的位置,一个近似的测法是缓慢的旋转转子,记下电感的最大值和最小值,此时:

 

  

 


  用两相测dq轴电感


  用两相绕组也可以直接测量,比如直接测量BC两相端部之间的电感。


电感测量 

 

  此时,B相绕组的磁链为:

 

  Ψb=(Lbb-Lbc)i

 

  B相绕组的磁链为:

 

  Ψc=(Lbc-Lcc)i

 

  总的磁链为:


  Ψ=Ψbc

 

  等效电感为: 


  


  同样,缓慢的旋转直流电机转子,记下电感的最大值和最小值,此时:

 

  

 

  由于直流电机是比较复杂的电磁产品,里面电感构型比较复杂,既有自感又有互感,电感之间既有并联,也有串联,电感串联和并联的特性非常重要

 

  同向串联电感


直流电机的自感和互感 


  上图描述了两个绕向相同的电感串联时的模型,其中用黑点表示绕组电流流入方向,电流和磁链方向如图所示。


  第一个电感产生的总磁链为:


  Ψ1=L1i1+|M|i2 


  第二个电感中产生的总磁链为:


  Ψ2=L2i2+|M|i1


  两个电感中的电流方向相同:


  i1=i2


  两个电感等效成一个电感时,总的磁链为:


  Ψ=Ψ12=(L1+L2+2|M|)i


  则等效电感为:


  

 

  反向串联电感


反向串联电感 


  此时两绕组绕向相反,由于定义的电流正方向为绕组的流入方向,在此规定下,两绕组的电流数值关系是:


  i1=-i2

 

  所以总的等效磁链为:


  Ψ=Ψ12=(L1+L2-2|M|)i

 

  则等效电感为:


  

 

  同向并联电感


同向并联电感 


  两个电感并联时是比较反直觉的,下面我们就来仔细分析一下。上图是绕向相同的两个电感并联时情况,此时,由基尔霍夫电压定律每个电感两端的电压应该是一致的。即:


  

 

  对于第一个电感:


  

 

  对于第二个电感:


  


  由基尔霍夫电流定律:


  i=i1+i2

 

  整理可得:

 

  

 

  所以等效电感为:


  



  反向并联电感

 

同向并联电感 


  两电感方向绕向相反,则根据基尔霍夫电压定律:


  

 

  由基尔霍夫电流定律:


  i=i1-i2

 

  可计算的等效电感为:


  

 

  简单来说:


  当两电感串联时:Ls-L1+L2±2M ,绕向相同时为+,绕向相反时为-;

  ​当两电感并联时:,绕向相同时为+,绕向相反时为 -。

 

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